Analysis I: Eine Einführung in die Mathematik des Kontinuums by Daniel Grieser

By Daniel Grieser

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Die Aussage ∃x ∈ M∶ A(x) ist wahr, wenn A(x) wahr ist für mindestens ein x ∈ M. 32 3 Logik, Mengen, Abbildungen Die Ausdrücke „Für alle. . “ und „Es gibt. . “ bzw. die Symbole ∀, ∃ nennt man Quantoren. Verkürzte Sprechweisen sind üblich, zum Beispiel „Alle n ∈ N sind positiv“ statt „Für alle n ∈ N gilt: n ist positiv“. Ist die Aussage A:„Alle negativen Quadrate reeller Zahlen sind gleich “ wahr oder falsch? Schreiben wir A formal: ∀x ∈ M ∶ x = , wobei M = {x ∶ x <  und ∃y ∈ R ∶ x = y  }.

Das sieht nach Haarspalterei aus, die Präzision zahlt sich aber später aus. Für die Analysis besonders wichtige Mengen sind die Zahlbereiche N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C und die Intervalle. 2 Definition Seien a, b ∈ R und a ≤ b. ) zu Gruppen zusammenzufassen. Aus zwei Objekten a, b kann man ein Paar (a, b) bilden. Hierbei kommt es auf die Reihenfolge an, d. , (a, b) und (b, a) sind verschieden, falls a ≠ b ist. Die beiden Objekte dürfen auch gleich sein, das zählt aber immer noch als Paar: (a, a). Sind A, B Mengen, so bezeichnet man mit A × B (Produktmenge) die Menge aller Paare (a, b) mit a ∈ A und b ∈ B.

2 auch Q abzählbar. 4 Korollar (1) Sind die Mengen M, N abzählbar, so ist M × N abzählbar. (2) Ist M abzählbar und n ∈ N, so ist M n abzählbar. 2(2). Wir beweisen (2) mittels Induktion: Für n =  ist M  = M abzählbar. Wissen wir bereits, dass M n abzählbar ist, so ◻ ist M n+ = M n × M nach (1) ebenfalls abzählbar. Gibt es überhaupt überabzählbare Mengen? Wie könnte ein Beweis aussehen, dass eine Menge überabzählbar ist? 5 Satz Die Menge der {, }-Folgen ist überabzählbar. Eine {, }-Folge ist eine Folge (a  , a  , .

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