Analysis by Stefan Hildebrandt

By Stefan Hildebrandt

Das vorliegende Lehrbuch ist als Leitfaden f?r eine zwei- oder dreisemestrige Analysis-Vorlesung gedacht und richtete sich an Studierende der Mathematik und Physik sowie an mathematisch interessierte Studierende der Informatik und der exakten Wissenschaften. Ausf?hrliche Beweise und Erl?uterungen sowie zahlreiche Beispiele und interessante ?bungsaufgaben eignen es sehr intestine f?r das mathematische Selbststudium. Ein klarer und ?bersichtlicher Aufbau und eine geschickte Gliederung des Stoffes erm?glichen, das erste Studium auf Kernbereiche zu beschr?nken. Dem Dozenten werden vielf?ltige M?glichkeiten geboten, je nach paintings der Vorlesung verschiedene Schwerpunkte zu setzen und geeignete Wege zur Darstellung des Stoffes zu w?hlen. Geometrische instinct und historische Motivation in Verbindung mit einer ma?vollen Abstraktion kennzeichnen diese moderne Einf?hrung in die Analysis.

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H. es sei k (a + b)k = ν=0 k k−ν ν b . a ν Hieraus erhalten wir (a + b)k+1 = (a + b)k (a + b) k k k−ν ν b (a + b) a ν = ν=0 k k k+1−ν ν b + a ν = ν=0 k ν=0 k k−ν ν+1 b . h. ν = µ + 1) durchf¨ uhren: k ν=0 k k−ν ν+1 b = a ν k µ=0 k k−µ µ+1 b = a µ k+1 ν=1 k ak+1−ν bν . 6 Binomischer Satz. Binomialkoeffizienten 31 Hieraus ergibt sich k+1 (a + b) = k k+1 a + 0 k k k + ν ν−1 ν=1 k k+1 b . k ak+1−ν bν + Wegen k 0 k+1 0 =1= , k k =1= k+1 k+1 k k + ν ν−1 , = k+1 ν folgt die gew¨ unschte Behauptung: k+1 k+1 (a + b) = ν=0 k + 1 k+1−ν ν b .

Die Elemente von R\Q sind die irrationalen Zahlen. Wir wollen jetzt die St¨ arke des Axioms (III) an einem ersten Beispiel kennenlernen. Satz 5. (Satz von Archimedes) Zu jedem a ∈ R gibt es ein n ∈ N, so daß a < n gilt. Beweis. Anderenfalls g¨ abe es ein a ∈ R mit n ≤ a f¨ ur alle n ∈ N . Folglich w¨ are die nichtleere Menge N nach oben beschr¨ankt und bes¨aße nach Axiom (III) eine kleinste obere Schranke b, n¨ amlich b := sup N. Wegen b < b + 1 ist b − 1 < b, und somit ist b − 1 keine obere Schranke von N.

Gibt, so daß |an | ≤ k f¨ Satz 4. (i) an → 0 ⇔ |an | → 0. (ii) Es gebe k > 0, so daß |an | ≤ k|bn | f¨ ur alle n ≥ n0 gilt. Aus bn → 0 folgt ankt ist. dann an → 0. Insbesondere gilt bn cn → 0, wenn bn → 0 und {cn } beschr¨ (iii) Aus an → 0 und bn → 0 folgt an + bn → 0. (iv) Jede Nullfolge ist beschr¨ ankt. Beweis. (i) folgt sofort aus Definition 2. (ii) Wegen bn → 0 gibt es f¨ ur jedes n > N ist. Hieraus folgt > 0 ein N ∈ N, so daß |bn | < /k f¨ ur alle |an | ≤ k|bn | < k · also an → 0. k = f¨ ur n > N , 36 (iii) Zu Kapitel 1.

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